如何理解SAT数学考点之一的方差问题

　　众所周知，SAT或ACT考试成绩在美国大学申请中占有一定的地位，尽管美国的大学并不是唯分数论，但是对于要求提供SAT或ACT考试成绩的学校来说，申请者如果能取得较好的SAT或ACT成绩就会为申请增加成功的砝码。

　　SAT2在考取美国高中时不是必须的，有些好的大学也不要求，但是如果不考SAT2高中毕业想申请好的大学时就会受到很大限制。

　　首先，要搞清楚所要申请学校的要求。并非所有的美国大学都要求有SAT2成绩，相当一部分普通大学和少量名校都不需要(NOT REQUIRED)考SAT2。如果你申请的学校都是不需要SAT2成绩的，而你备考TOEFL、SAT1的时间又很紧张，那么就没有必要去考SAT2。但大部分的美国名校是需要有SAT2成绩的，一般是需要两门或三门。在需要SAT2成绩的学校中，对具体科目的要求又不尽相同，有的学校没有规定科目，有的则给出了相当程度的指定，如加州理工学院(CALTECH)就要求所有申请者必须提供SAT2的数学2和科学类中的一门(即物理或化学或生物)成绩。

　　方差的概念与计算公式

　　例1 ：两人的5次测验成绩如下：

　　X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;

　　Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

　　平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离大。

　　方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

　　单个偏离是消除符号影响

　　方差即偏离平方的均值，记为D(X )：

　　直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

　　这里 是一个数。推导另一种计算公式

　　得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

　　其中，分别为离散型和连续型计算公式。 称为标准差或均方差，方差描述波动。

　　常用分布的方差

　　1.两点分布

　　2.二项分布

　　X ~ B ( n, p )

　　引入随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)

　　3.泊松分布(推导略)

　　4.均匀分布

　　5.指数分布(推导略)

　　6.正态分布(推导略)

　　7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

　　8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

　　正态分布的后一参数反映它与均值 的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的。

　　例2 求上节例2的方差。

　　解 根据上节例2给出的分布律，计算得到

　　工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

　　方差的定义：

　　设一组数据x1,x2,x3······xn中，各组数据与它们的平均数x(拔)的差的平方分别是(x1-x拔)2，(x2-x拔)2······(xn-x拔)2，那么我们用他们的平均数s2=1/n【(x1-x拔)2+(x2-x拔)2+·····(xn-x拔)2】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。(文章来源于网络。)

　　方差的性质

　　1.设C为常数，则D(C) = 0(常数无波动);

　　2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);

　　证：

　　特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)

　　3.若X 、Y 相互独立，则

　　证：

　　前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

　　当X、Y 相互独立时，

　　故第三项为零。

　　特别地

　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

　　方差公式：

　　平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值)

　　方差公式：S2=〈(M-x1)2+(M-x2)2+(M-x3)2+…+(M-xn)2〉╱n

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